Question

（2009•浦東新區(qū)二模）已知

i

=(1，0)，

c

=(0，

2

)，若過定點A(0，

2

)、以

i

-λ

c

（λ∈R）為法向量的直線l₁與過點B(0，-

2

)以

c

+λ

i

為法向量的直線l₂相交于動點P．
（1）求直線l₁和l₂的方程；
（2）求直線l₁和l₂的斜率之積k₁k₂的值，并證明必存在兩個定點E，F(xiàn)，使得|

PE

|+|

PF

|恒為定值；
（3）在（2）的條件下，若M，N是l：x=2

2

上的兩個動點，且

EM

•

FN

=0，試問當|MN|取最小值時，向量

EM

+

FN

與

EF

是否平行，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給直線上的定點坐標以及法向量，即可寫出兩直線方程．
（2）根據(jù)（1）中所求直線l₁和l₂的方程，可分別求出兩直線的斜率，再計算k₁k₂，為定值

1

2

，再用p點坐標表示k₁k₂，與前面所求k₁k₂的值相等，即可得到P點的軌跡方程．為橢圓，根據(jù)橢圓定義，可知橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為定植，所以必存在兩個定點E，F(xiàn)，使得|

PE

|+|

PF

|恒為定值．
（3）因為M，N的橫坐標相同，設出它們的縱坐標，先把|MN|用M，N的縱坐標表示，根據(jù)且

EM

•

FN

=0，求出M，N縱坐標的關(guān)系式，代入|MN|，即可求出|MN|的最小值，以及相應的M，N縱坐標，并據(jù)此求出向量

EM

+

FN

的坐標，根據(jù)兩向量平行的坐標關(guān)系，即可判斷向量

EM

+

FN

與

EF

是否平行．

解答：解：（1）直線l₁的法向量

n1

=( 1 ， -

2

λ )，l₁的方程：x-

2

λ ( y-

2

 )=0，
即為x-

2

λy+2λ=0；
直線l₂的法向量

n1

=( λ ， 

2

 )，l₂的方程：λx+

2

 ( y+

2

 )=0，
即為λx+

2

y+2=0． 
（2）k1k2=

1

2 λ

•( -

λ

2

 )=-

1

2

．   
設點P的坐標為（x，y），由k1k2=

y- 2

x

•

y+ 2

x

=-

1

2

，得

x2

4

+

y2

2

=1．
由橢圓的定義的知存在兩個定點E、F，使得|

PE

|+|

PF|

恒為定值4．
此時兩個定點E、F為橢圓的兩個焦點．
（3）設M ( 2

2

 ， y1)，N ( 2

2

 ， y2)，則

EM

=( 3

2

 ， y1)，

FN

=( 

2

 ， y2)，
由

EM

•

FN

=0，得y₁y₂=-6＜0．
|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=24；
當且僅當

y1= 6    y2=- 6

或

y1=- 6 y2= 6

時，|MN|取最小值

6

．

EM

+

FN

=( 4

2

 ， y1+y2)=( 4

2

 ， 0 )=2

EF

，故

EM

+

FN

與

EF

平行．

點評：本題主要考查了橢圓定義的應用，以及直線與圓錐曲線相交弦長的求法．