Question

（2012•河北模擬）定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；②當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-（x-3）²，若函數(shù)f（x）的圖象上所有極大值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均落在同一條直線上，則c等于（　　）

A．1

B．2

C．1或2

D．4或2

Answer 1

分析：由已知可得分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出三個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三點(diǎn)共線，則任取兩點(diǎn)確定的直線斜率相等，可以構(gòu)造關(guān)于c的方程，解方程可得答案．

解答：解：∵當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-（x-3）²
當(dāng)1≤x＜2時(shí)，2≤2x＜4，
則f（x）=

1

c

f（2x）=

1

c

[1-（2x-3）²]
此時(shí)當(dāng)x=

3

2

時(shí)，函數(shù)取極大值

1

c

當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-（x-3）²
此時(shí)當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取極大值1
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，2＜

1

2

x≤4
則f（x）=cf（

1

2

x）=c（1-（

1

2

x-3）²，
此時(shí)當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)取極大值c
∵函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上，
即點(diǎn)（

3

2

，

1

c

），（3，1），（6，c）共線，
∴

1- 1 c

3- 3 2

=

c-1

6-3

解得c=1或2．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三點(diǎn)共線，函數(shù)的極值，其中根據(jù)已知分析出分段函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而求出三個(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．