Question

若一系列函數的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“同效函數”，例如函數y=x²，x∈[1，2]與函數y=x²，x∈[-2，-1]即為“同效函數”．請你找出下面函數解析式中能夠被用來構造“同效函數”的是（　　）

• A．y=x
• B．y=

  x

  x2+1

• C．y=2^x-2^-x
• D．y=lg（3x+9）

Answer 1

分析：由題意，能夠被用來構造“同效函數”的函數必須滿足在其定義域上不單調．由此判斷各個函數在其定義域上的單調性，即可得到A、C、D中的函數不符合題意，而B中的函數在其定義域上不是單調函數，符合題意．

解答：解：根據題意，“同效函數”需滿足：對于同一函數值，有不同的自變量與其對應．
因此，能夠被用來構造“同效函數”的函數必須滿足在其定義域上不單調．
∵函數y=x在（-∞，+∞）上是增函數，∴y=x不能夠被用來構造“同效函數”，故A不正確；
∵函數y=

x

x2+1

在（-∞，-1），（1，+∞）上是減函數，在（-1，0），（0，1）上是增函數，
∴y=

x

x2+1

能夠被用來構造“同效函數”，故B正確；
∵函數y=2^x-2^-x在（-∞，+∞）上是增函數；
∴y=2^x-2^-x不能夠被用來構造“同效函數”，故C不正確；
∵函數y=lg（3x+9）在（-3，+∞）上是增函數，
∴y=lg（3x+9）不能夠被用來構造“同效函數”，故D不正確．
故選：B．

點評：本題考查了函數的定義域及其值域，考查了函數的單調性，是新定義題，屬基礎題．