Question

已知函數f（x）的定義域為R，則下列命題中：
①y=f（x）為偶函數，則y=f（x+2）的圖象關于y軸對稱；
②y=f（x+2）為偶函數，則y=f（x）關于直線x=2對稱；
③若f（x-2）=f（2-x），則y=f（x）關于直線x=2對稱；
④y=f（x-2）和y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱．
其中正確命題序號有

②④

．（填上所有正確命題序號）

Answer 1

分析：根據偶函數的圖象關于y軸（x=0）對稱，將函數f（x）的圖象向左平移兩個單位后得到f（x+2）的圖象（將函數f（x+2）的圖象向右平移兩個單位后得到f（x）的圖象），根據函數圖象的平移，對稱軸也跟著平移的原則，可對①②進行判斷．對于③，將x-2看成整體，可得f（x）是偶函數，從而其圖象關于y軸對稱；對于④從兩個函數的形式上可以看出，此兩函數都是抽象函數，可以分別看作函數y=f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了兩個單位而得到，由此問題變化為研究f（x）與y=f（-x）的圖象的對稱性，再由平移規律得出函數y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象的對稱軸即可．

解答：解：∵f（x）是偶函數，
∴函數f（x）的圖象關于y軸（x=0）對稱
將函數f（x）的圖象向左平移兩個單位后得到f（x+2）的圖象
故f（x+2）的圖象關于x=-2對稱，①不正確；
反之當f（x+2）是偶函數時，函數f（x+2）的圖象關于y軸（x=0）對稱
將函數f（x+2）的圖象向右平移兩個單位后得到f（x）的圖象
函數f（x）的圖象關于x=2對稱，②正確；
對于③，將x-2看成整體，可得f（t）=f（-t），從而f（x）是偶函數，從而其圖象關于y軸對稱；故③錯；
④：∵f（x）與y=f（-x）的圖象關于直線x=0對稱
又函數y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象可以由f（x）與y=f（-x）的圖象向右移了個單位而得到，
∴函數y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關于直線x=2對稱，正確．
故答案為：②④．

點評：本題考點是兩個函數圖象的對稱性、奇偶函數圖象的對稱性質，函數圖象的平移變換，考查根據已知函數圖象的性質來判斷與之相關函數性質的能力，即圖象變換的能力，其中正確理解函數圖象的平移，對稱軸也跟著平移的原則，是解答本題的關鍵．