Question

在三角形中有下面的性質：

（1）三角形的兩邊之和大于第三邊；

（2）三角形的中位線等于第三邊的一半，并且平行于第三邊；

（3）三角形的三條內角平分線交于一點，且這個點是三角形的內心；

（4）三角形的面積為S＝(a+b+c)r（r為內切圓半徑）.

    請類比出四面體的有關性質.

Answer 1

思路點撥：利用三角形的有關性質，通過觀察四面體的結構，比較二者的內在聯系，從中類比出四面體的相似命題，提出猜想.

解：(1)四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積.

（2）四面體的中位面的面積等于第四個面的面積的四分之一，且平行于第四個面.

（3）四面體的六個二面角的平分面交于一點，且這個點是四面體內切球的球心.

（4）四面體的體積為V=(S₁+S₂+S₃+S₄)r，r為內切球半徑，S₁、S₂、S₃、S₄為四個面的面積.

[一通百通]類比推理應從具體問題出發，通過觀察、類比、歸納，提出猜想.通常情況下，平面圖形中的面積與空間圖形中的體積是類比的兩類對象.可以類比的兩類對象既有“共性”，又有“個性”.