Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）分別在區(qū)間（0，2]，[2，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題可知函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．
當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，
則，
∴f（x）=f（-x）．
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
則，
∴f（x）=f（-x）．
綜上所述，對于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，，
設(shè)x₂＞x₁＞0，則
當(dāng)x₂＞x₁≥2時(shí)，f（x₂）-f（x₁）＞0；當(dāng)2≥x₂＞x₁＞0時(shí)，f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)．
（另證：當(dāng)；
∵

∴函數(shù)f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)．
分析：（I）分兩段分別證明f（x）=f（-x）即可證明函數(shù)為偶函數(shù)；
（II）設(shè)x₂＞x₁＞0，利用作差法討論f（x₂）-f（x₁）的大小，即可證明函數(shù)在區(qū)間（0，2]，[2，+∞）上的單調(diào)性，也可利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性：先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再在某區(qū)間內(nèi)證明導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，即可證明函數(shù)的單調(diào)性
點(diǎn)評：本題考查了分段函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷方法，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的方法，作差法比較大小的變形技巧，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用