Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為6．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）

PF1

•

PF2

=3，求△PF₁F₂的面積；
（3）若已知D（0，3），M、N在曲線C上，且

DM

=λ

DN

，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值6且6＞2

5

，可得動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓；再求出對(duì)應(yīng)的a，b，c即可找到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入

PF1

•

PF2

=3，得到關(guān)于點(diǎn)P的坐標(biāo)的一個(gè)方程；再結(jié)合點(diǎn)P的軌跡C的方程可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值；最后代入三角形的面積計(jì)算公式即可；
（3）設(shè)出直線MN的方程以及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與曲線C的對(duì)應(yīng)方程，根據(jù)兩者有公共點(diǎn)，可以求出k的取值范圍以及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)與k的關(guān)系；再結(jié)合

DM

=λ

DN

，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)與λ的之間的關(guān)系；最后通過(guò)消去M，N的坐標(biāo)來(lái)求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）由雙曲線

x2

2

-

y2

3

=1的兩個(gè)焦點(diǎn)：F₁、F₂．
可知F₁（-√5，0），F(xiàn)₂（√5，0）
∵動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值6且6＞2

5

∴動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的橢圓
∴c=

5

，a=3，b²=a²-c²=4．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程：

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）設(shè)P（x，y），則

PF1

=（-

5

-x，-y）；

PF2

=（

5

-x，-y）；
∴

PF 1

•

PF 2

=x²-5+y²=3．
∵點(diǎn)P的軌跡C的方程：

x2

9

+

y2

4

=1．
∴

x2-5+y2=3 x2 9 + y2 4 =1

?y²=

4

5

?|y|=

2 5

5

．
∴S_△=

1

2

|F₁F₂|•|y|=

1

2

×2

5

×

2 5

5

=2．
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直線MN的方程為y=kx+3代入 

x2

9

+

y2

4

=1消去x整理得
：（4+9k²）x²+54kx+45=0
∵△=54×54k²-4×45（4+9k²）≥0
∴k²≥

5

9

…①
∴x₁+x₂=

-54k

4+9k2

…②，
x₁•x₂=

45

4+9k2

…③
∵

DM

=λ

DN

，
∴x₁=λx₂…④
由②③④并消去x₁與x₂…并整理得：

(1+λ)2

λ

=

324k2

20+45k2

再由①可得4≤

(1+t)2

t

＜

36

5

解得

1

5

≤t≤5
當(dāng)k不存在時(shí)此時(shí)MN為短軸容易得t=

1

5

或5
綜上可知λ取值范圍為[

1

5

，5]

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量共線問(wèn)題．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識(shí)內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識(shí)，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，一般是以壓軸題的形式出現(xiàn)．