Question

已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若a_m，a_m+2，a_m+1（m∈N^*）成等差數列，試判斷S_m，S_m+2，S_m+1是否成等差數列，并證明你的結論．

Answer 1

分析：直接利用等差數關系，求出公比，然后判斷當q=1時，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差數列．當q=-

1

2

時，S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列．
證法1：證明（S_m+S_m+1）-2S_m+2=0即可．證法2：利用等比數列求出S_m+S_m+1與2S_m+2的值相等即可．

解答：解：設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q（a₁≠0，q≠0），若a_m，a_m+2，a_m+1成等差數列，
則2a_m+2=a_m+a_m+1．
∴2a₁q^m+1=a₁q^m-1+a₁q^m．
∵a₁≠0，q≠0，∴2q²-q-1=0．
解得q=1或q=-

1

2

．
當q=1時，∵S_m=ma₁，S_m+1=（m+1）a₁，S_m+2=（m+2）a₁，
∴2S_m+2≠S_m+S_m+1．
∴當q=1時，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差數列．
當q=-

1

2

時，S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列．下面給出兩種證明方法．
證法1：∵（S_m+S_m+1）-2S_m+2=（S_m+S_m+a_m+1）-2（S_m+a_m+1+a_m+2）=-a_m+1-2a_m+2=-a_m+1-2a_m+1q=-am+1-2am+1(-

1

2

)=0，
∴2S_m+2=S_m+S_m+1．
∴當q=-

1

2

時，S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列．
證法2：∵2Sm+2=

2a1[1-(- 1 2 )m+2]

1+ 1 2

=

4

3

a1[1-(-

1

2

)m+2]，
又Sm+Sm+1=

a1[1-(- 1 2 )m]

1+ 1 2

+

a1[1-(- 1 2 )m+1]

1+ 1 2

=

2

3

a1[2-(-

1

2

)m-(-

1

2

)m+1]=

2

3

a1[2-4×(-

1

2

)m+2+2×(-

1

2

)m+2]=

4

3

a1[1-(-

1

2

)m+2]，
∴2S_m+2=S_m+S_m+1．
∴當q=-

1

2

時，S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列．

點評：本小題主要考查等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式等基礎知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力