Question

數列{a_n}滿足a₁=a，an+1=

an+3 2

，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a_n+1=a_n，求a的值；
（Ⅱ）當a=

1

2

時，證明：an＜

3

2

；
（Ⅲ）設數列{a_n-1}的前n項之積為T_n．若對任意正整數n，總有（a_n+1）T_n≤6成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知an=

an+3 2

，解得an=

3

2

，由n的任意性知，a1=a=

3

2

．
（Ⅱ）假設an≥

3

2

，則an-1≥

3

2

，依此類推，an-2≥

3

2

，，a2≥

3

2

，a1≥

3

2

，與a1=

1

2

矛盾．所以an＜

3

2

．
（Ⅲ）由題設條件知2(an-1)=

an-1+1

an+1

．由此入手能夠解出a的取值范圍是[-

7

，

7

]．

解答：解：（Ⅰ）因為a_n+1=a_n，所以an=

an+3 2

，解得an=

3

2

或a_n=-1（舍去）．
由n的任意性知，a1=a=

3

2

．（3分）
（Ⅱ）反證法：
假設an≥

3

2

，則

3+an-1 2

≥

3

2

，得an-1≥

3

2

，
依此類推，an-2≥

3

2

，，a2≥

3

2

，a1≥

3

2

，與a1=

1

2

矛盾．
所以an＜

3

2

．（8分）
（Ⅲ）由已知，當n≥2時，2a_n²=a_n-1+3，2（a_n²-1）=a_n-1+1，2（a_n-1）（a_n+1）=a_n-1+1，
所以2(an-1)=

an-1+1

an+1

．
同理2(an-1-1)=

an-2+1

an-1+1

，2(a3-1)=

a2+1

a3+1

，2(a2-1)=

a1+1

a2+1

．
將上述n-1個式子相乘，得2n-1(a2-1)(a3-1)(an-1-1)(an-1)=

a1+1

an+1

，
即2n-1×

Tn

a1-1

=

a1+1

an+1

，(an+1)Tn=

a 2 1 -1

2n-1

．
所以

a12-1

2n-1

≤6對任意n≥2恒成立．
又n=1時，（a₁+1）（a₁-1）=a₁²-1≤6，
故a₁²≤6×2^n-1+1對任意n∈N^*恒成立．
因為數列{6×2^n-1+1}單調遞增，所以a₁²≤6×1+1=7，
即a的取值范圍是[-

7

，

7

]．（14分）

點評：本題考查數列性質的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．