Question

【題目】已知拋物線 的頂點在原點 ，對稱軸是 軸，且過點 .
（Ⅰ）求拋物線 的方程；
（Ⅱ）已知斜率為 的直線 交 軸于點 ，且與曲線 相切于點 ，點 在曲線 上，且直線 軸， 關于點 的對稱點為 ，判斷點 是否共線，并說明理由.

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)根據題意，可設拋物線 的標準方程為 ，
所以 ，解得 ，
所以拋物線 的方程為 .
(Ⅱ)點 共線，理由如下：
設直線 ，聯立
得 (*)
由 ，解得 ，
則直線 ，得 ， ，
又 關于點 的對稱點為 ，故 ，
此時，(*)可化為 ，解得 ，
故 ，即 ，
所以 ，即點 共線
【解析】（Ⅰ）根據題目中所給的條件的特點，可設拋物線C的標準方程，把已知點的坐標代入可得p值，可求拋物線方程；
（Ⅱ）根據題意設直線l：y=kx+m，聯立直線方程與拋物線方程，利用根的判別式，以及它與斜率的關系可得點A，Q，O是否共線，從而得到答案．