Question

．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且c²=a²+b²-ab．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）設

m

=(sinA，1)，

n

=(3，cos2A)，試求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用余弦定理求出cosC，然后求角C；
（Ⅱ）設

m

=(sinA，1)，

n

=(3，cos2A)，通過向量的數量積，利用二倍角公式，通過配方法結合角的范圍求出表達式的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-(a2+b2-ab)

2ab

=

1

2

又0＜C＜π∴C=

π

3

…（6分）
（Ⅱ）∵

m

=(sinA，1)，

n

=(3，cos2A)
∴

m

•

n

=3sinA+cos2A=3sinA+1-2sin2A=-2(sinA-

3

4

)2+

17

8

由（Ⅰ）知   0＜A＜

2π

3

∴0＜sinA≤1
∴當sinA=

3

4

時，

m

•

n

取最大值

17

8

．…（12分）

點評：本題考查余弦定理的應用，向量的數量積與二倍角公式的應用，三角函數的最值的求法，考查計算能力．