Question

設有兩個命題：
命題p：不等式|x-1|+|x-3|＞a對一切實數x都成立；
命題q：已知函數f（x）=mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線2x+y=1平行，且f（x）在[a，a+1]上單調遞減．
若命題“p或q“為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用絕對值不等式的幾何意義可求得命題p真時a的取值范圍，由導數的幾何意義可求得f（x）的解析式，f（x）在[a，a+1]上單調遞減可求得實數a的取值范圍，再由“p或q“為真即可求得答案．

解答：解：令f（x）=|x-1|+|x-3|，
則f（x）=|x-1|+|x-3|≥|1-x+x-3|=2，
即f（x）_min=2，
∵命題p：不等式|x-1|+|x-3|＞a對一切實數x都成立，
∴a＜f（x）_min=2．
又命題q：已知函數f（x）=mx³+nx²的圖象在點（-1，2）處的切線恰好與直線2x+y=1平行，
∴f（-1）=-m+n=2①
f′（-1）=3m（-1）²+2n（-1）=-2，即3m-2n=-2②
由①②得：m=2，n=4．
∴f（x）=2x³+4x²，
∴f′（x）=6x²+8x=2x（3x+4），
∴當-

4

3

≤x≤0時，f′（x）≤0，
∴f（x）在[-

4

3

，0]上單調遞減．
∵f（x）=2x³+4x²在[a，a+1]上單調遞減，
∴

a≥- 4 3 a+1≤0

，解得-

4

3

≤a≤-1．
∵“p或q“為真，[-

4

3

，0]?（-∞，2）．
∴a＜2．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查利用導數研究曲線上某點切線方程，考查命題的真假判斷與應用，求得命題p真與命題q真時實數a的取值范圍是關鍵，屬于中檔題．