Question

（08年鷹潭市一模理）（14分）已知函數滿足，，；且使成立的實數只有一個。

（Ⅰ）求函數的表達式；

（Ⅱ）若數列滿足，，，，證明數列 是等比數列，并求出的通項公式；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，如果,

,證明：，。

Answer 1

解析：（Ⅰ）由，，，得.…1分

由，得.…………2分

由只有一解，即，也就是只有一解，

∴∴.…………3分

∴.故.…………………4分

（Ⅱ）解法一:∵，，∴，

，，……………5分

猜想，.……………6分

下面用數學歸納法證明：

1⁰ 當n=1時，左邊=，右邊=，∴命題成立. ……………7分

2⁰ 假設n=k時，命題成立，即；當 n=k+1時，，

∴當 n=k+1時，命題成立. ………………8分

由1⁰，2⁰可得，當時，有.……………9分

∵，∴

∴是首項為，公比為的等比數列，其通項公式為.………10分

解法二:∵， ∴………5分

即,………8分

∴………9分

,………10分

（Ⅲ）當為偶數時,

即………………12分

∴

即.…………………14分