Question

已知圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：首先由已知條件圓內接四邊形ABCD的邊長分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，連接對角線然后由邊長求得夾角的度數，再分別求得三角形的面積，再求解即可得到答案．

解答：解：如圖：連接BD，則有四邊形ABCD的面積，
S=S△ABD+S△CDB=

1

2

AB•ADsinA+

1

2

BC•CDsinC．
∵A+C=180°，∴sinA=sinC．
∴S =

1

2

(AB•AD+BC•CD)sinA=

1

2

(2×4+6×4)sinA=16sinA．
由余弦定理，在△ABD中，
BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=2²+4²-2×2×4cosA=20-16cosA，
在△CDB中  BD²=CB²+CD²-2CB•CDcosC=6²+4²-2×6×4cosC=52-48cosC，
∴20-16cosA=52-48cosC
∵cosC=-cosA，
∴64cosA=-32，cosA=-

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，
∴A=120°，
∴S=16sin120°=8

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．
故答案為8

3

．

點評：本小題考查三角函數的基礎知識以及運用三角形面積公式及余弦定理解三角形的方法，考查運用知識分析問題、解決問題的能力．