Question

如圖，正方形ABCD內接于橢圓，且它的四條邊與坐標軸平行，正方形MNPQ的頂點M，N在橢圓上，頂點P，Q在正方形的邊AB上，且A，M都在第一象限．
（I）若正方形ABCD的邊長為4，且與y軸交于E，F兩點，正方形MNPQ的邊長為2．
①求證：直線AM與△ABE的外接圓相切；
②求橢圓的標準方程．
（II）設橢圓的離心率為e，直線AM的斜率為k，求證：2e²-k是定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）①確定，可證AM⊥AE，即可證明直線AM與△ABE的外接圓相切；
②將A（2，2），M（4，1）代入橢圓方程，即可求得橢圓標準方程；
（Ⅱ）設正方形ABCD的邊長為2s，正方形MNPQ的邊長為2t，將A（s，s），M（s+2t，t），代入橢圓方程，從而可求，再求出，即可證得結論．
解答：（Ⅰ）證明：①依題意：A（2，2），M（4，1），E（0，-2）
∴，
∴
∴AM⊥AE（3分）
∵AE為Rt△ABE外接圓直徑，
∴直線AM與△ABE的外接圓相切；（5分）
②解：由A（2，2），M（4，1）在橢圓上，可得，解得
∴橢圓標準方程為．（10分）
（Ⅱ）證明：設正方形ABCD的邊長為2s，正方形MNPQ的邊長為2t，則A（s，s），M（s+2t，t），
代入橢圓方程得，∴
∴ （14分）
∵，
∴2e²-k=2為定值． （15分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查定值的證明，解題的關鍵是待定系數法．