Question

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=

2

，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設AC與BD交于點G，則在平面BDE中，可以先證明四邊形AGEF為平行四邊形?EG∥AF，就可證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）先以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz．把對應各點坐標求出來，可以推出

CF

•

BE

=0和

CF

•

DE

=0，就可以得到CF⊥平面BDE
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）找到

CF

=（

2

2

，

2

2

，1），是平面BDE的一個法向量，再利用平面ABE的法向量

n

•

BA

=0和

n

•

BE

=0，求出平面ABE的法向量

n

，就可以求出二面角A-BE-D的大小．

解答：解：證明：（I）設AC與BD交于點G，
因為EF∥AG，且EF=1，AG=

1

2

AC=1，
所以四邊形AGEF為平行四邊形．所以AF∥EG．
因為EG?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（II）因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，
所以CE⊥平面ABCD．
如圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz．
則C（0，0，0），A（

2

，

2

，0），D（

2

，0，0），E（0，0，1），F（

2

2

，

2

2

，1）．
所以

CF

=（

2

2

，

2

2

，1），

BE

=（0，-

2

，1），

DE

=（-

2

，0，1）．
所以

CF

•

BE

=0-1+1=0，

CF

•

DE

=-1+0+1=0．
所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE
（III）由（II）知，

CF

=（

2

2

，

2

2

，1），是平面BDE的一個法向量，
設平面ABE的法向量

n

=（x，y，z），則

n

•

BA

=0，

n

•

BE

=0．
即

(x，y，z)•( 2 ，0，0)=0 (x，y，z)•(0，- 2 ，1)=0

所以x=0，且z=

2

y．令y=1，則z=

2

．所以n=（0，1，

2

），從而cos（

n

，

CF

）=

n • CF

| n | •| CF |

=

3

2

因為二面角A-BE-D為銳角，所以二面角A-BE-D為

π

6

．

點評：本題綜合考查直線和平面垂直的判定和性質和線面平行的推導以及二面角的求法．在證明線面平行時，其常用方法是在平面內找已知直線平行的直線．當然也可以用面面平行來推導線面平行．