Question

對于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若同時滿足①存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得任取x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c（c是常數(shù)）；②對于D內(nèi)任意x₂，當(dāng)x₂∉[a，b]時總有f（x₂）＞c；則稱f（x）為“平底型”函數(shù)．
（1）判斷f₁（x）=|x-1|+|x-2|，f₂（x）=x+|x-2|是否是“平底型”函數(shù)？簡要說明理由；
（2）設(shè)f（x）是（1）中的“平底型”函數(shù)，若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的范圍；
（3）若是“平底型”函數(shù)，求m和n的值．

Answer 1

解：（1）f₁（x）=|x-1|+|x-2|是“平底型”函數(shù)，
存在區(qū)間[1，2]使得f₁（x）=1，在區(qū)間[1，2]外，f₁（x）＞1，
f₂（x）=x+|x-2|不是“平底型”函數(shù)，
∵在（-∞，0]上，f₂（x）=2，在（-∞，0]外，f₂（x）＞2，（-∞，0]不是閉區(qū)間．
（2）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x），（k∈R，k≠0）對一切t∈R恒成立
即 f（x）≤|-1|+|+1|，
∵|-1|+|+1|的最小值是2，∴f（x）≤2，
又由f（x）=|x-1|+|x-2|，得 x∈[0.5，2.5]時，f（x）≤2，故x的范圍是[0.5，2.5]．
（3）∵是“平底型”函數(shù)
x²+2x+n=（mx-c）²
則m²=1，-2mc=2，c²=n；解得m=1，c=-1，n=1，①，或m=-1，c=1，n=1，②
①情況下，f（x）=是“平底型”函數(shù)；
②情況下，f（x）=不是“平底型”函數(shù)；
綜上，當(dāng)m=1，n=1時，為“平底型”函數(shù)．
分析：（1）考查函數(shù)是否全部具備“平底型”函數(shù)的定義中的2個條件：①在一個閉區(qū)間上，函數(shù)值是個常數(shù)，②在閉區(qū)間外的定義域內(nèi)，函數(shù)值大于此常數(shù)．
（2）要使一個式子大于或等于f（x）恒成立，需使式子的最小值大于或等于f（x）即可，從而得到f（x）≤2，
結(jié)合“平底型”函數(shù)f（x）的圖象可得，當(dāng)x∈[0.5，2.5]時，f（x）≤2成立．
（3）假定函數(shù)是“平底型”函數(shù)，則函數(shù)解析式應(yīng)滿足“平底型”函數(shù)的2個條件，化簡函數(shù)解析式，檢驗“平底型”函數(shù)的2個條件同時具備的m、n值是否存在．
點評：本題的考點是函數(shù)恒成立問題，綜合考查函數(shù)概念及構(gòu)成要素，及不等式中的恒成立問題，體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，關(guān)鍵是對新概念的理解．