Question

對于定義在D上的函數(shù)y=f（x），若同時滿足：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在區(qū)間[a，b]上值域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)y=f（x）（x∈D）稱為閉函數(shù)．按照上述定義，若函數(shù)y=

2

x

為閉函數(shù)，則符合條件②的區(qū)間[a，b]可以是

[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）

．

Answer 1

分析：由已知條件中“閉函數(shù)”的定義，說明函數(shù)y=

2

x

在區(qū)間[a，b]的值域是[a，b]，因?yàn)楹瘮?shù)在（-∞，0）和（0，∞+）均為減函數(shù)所以分a、b都小于0和a、b都大于0兩種情況討論，通過解方程組，即可得到符合條件②的區(qū)間[a，b]．

解答：解：∵函數(shù)y=

2

x

在（-∞，0）和（0，∞+）均為減函數(shù)，在[a，b]的值域是[a，b]，
∴當(dāng)[a，b]⊆（0，+∞）時，可得

f(a)= 2 a =b f(b)= 2 a =b

，說明只要滿足ab=2，且a＜b的正數(shù)a、b都能符合題意
同理可得，當(dāng)[a，b]⊆（-∞，0）時，滿足ab=2，且a＜b的負(fù)數(shù)數(shù)a、b也能符合題意．
所以任意滿足ab=2，且a＜b的實(shí)數(shù)都能符合題意．
故答案為：[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)新定義構(gòu)造出滿足條件的方程（組）或不等式（組）將新定義轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型是解答本題的關(guān)鍵．