Question

已知向量

m

=(-1，sinx)，

n

=(-2，cosx)，函數f(x)=2

m

•

n

．
（1）求函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值；
（2）若△ABC的角A、B所對的邊分別為a、b，f(

A

2

)=

24

5

，f(

B

2

+

π

4

)=

64

13

，a+b=11，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積公式求得f（x）=

m

•

n

=4+sin2x，由x∈[0，

π

2

]，根據正弦函數的定義域和值域求得sin2x的范圍，即可求得函數f（x）的值域．
（2）由f(

A

2

)=

24

5

求得sinA的值；由f(

B

2

+

π

4

)=

64

13

，求得sin(B+

π

2

)的值，從而求得cosB和sinB的值，再由正弦定理得

a

b

=

sinA

sinB

=

52

25

，求得a的值．

解答：解：（1）依題意，f（x）=

m

•

n

=2（2+sinxcosx）=4+sin2x…（3分），
由x∈[0，

π

2

]，可得2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]，…（4分），
所以，函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的最大值為5．…（5分）
（2）由f(

A

2

)=

24

5

得sinA=

4

5

．…（6分），
由f(

B

2

+

π

4

)=

64

13

，得sin(B+

π

2

)=

12

13

…（7分），從而cosB=

12

13

…（8分），
因為0＜B＜π，所以sinB=

5

13

…（9分），
由正弦定理得

a

b

=

sinA

sinB

=

52

25

…（11分），所以，

a

a+b

=

52

77

，a=

52

7

…（12分）．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，正弦定理以及正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．