Question

已知由實數構成的集合A滿足條件：若a∈A，則

1+a

1-a

∈A（a≠0，且a≠±1），則集合A中至少有幾個元素？證明你的結論．

Answer 1

分析：由已知中若a∈A，則

1+a

1-a

∈A（a≠0，且a≠±1），依次代入可得a、

1+a

1-a

、-

1

a

和

a-1

a+1

均屬于A，且互不相等，進而得到結論．

解答：解：∵a∈A，則

1+a

1-a

∈A，
∴

1+ 1+a 1-a

1- 1+a 1-a

=-

1

a

∈A，
進而有

1+(- 1 a )

1-(- 1 a )

=

a-1

a+1

∈A，
∴又有

1+ a-1 a+1

1- a-1 a+1

=a∈A，
∵a∈R，∴a≠-

1

a

，
假設a=

1+a

1-a

，則a²=-1，矛盾，
∴a≠

1+a

1-a

，
類似方法可證a、

1+a

1-a

、-

1

a

和

a-1

a+1

四個數互不相等，
這就證得集合A中至少有四個元素．

點評：本題考查的知識點集合元素的個數的最大值，其中根據遞推式得到集合中的其它元素且證明其互不相等，是解答的核心．