Question

如圖為函數M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=1分別交于點P、Q，點N（0，1），若△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個，則b的取值范圍為
（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：對函數求導可得，f′（x）=，根據導數的幾何意義先寫出過點M的切線方程為y-=（x-t），進而可得面積S=-t+，令g（t）為一個新的函數，要使△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個交點，通過g′（t）研究函數函數g（t）在（0，1）上的單調性，結合函數的圖象進行求解；
解答：解：解：對函數求導可得，f′（x）=，由題意可得M（t，），
切線的斜率k=f′（t）=
過點M的切線方程為y-=（x-t）
則可得P（0，），N（0，1），Q（2-t，1），
s_△PNQ=PN•NQ=（2-t）（1-）=-t+，
令g（t）=-t+（0＜t＜1）
g′（t）=+-1==，
函數g（t）在（0，）單調遞增，在[，1）單調遞減，
由于g（1）=，g（）=，
△PNQ的面積為b時的點M恰好有兩個，
即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個交點，
根據函數的圖象可得，＜b＜，

故選D；
點評：本題主要考查了導數的幾何意義的應用：求切線方程；利用導數判斷函數的單調性，求解函數的最值，解決本題的關鍵是構造函數g（t），通過研究該函數的性質，給出相應的函數的圖象，本題是一道中檔題；