Question

如圖為函數(shù)M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=1分別交于點P、Q，點N（0，1），若△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個，則b的取值范圍為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：對函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先寫出過點M的切線方程為y-=（x-t），進而可得面積S=-t+，令g（t）為一個新的函數(shù)，要使△PQN的面積為b時的點M恰好有兩個即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個交點，通過g′（t）研究函數(shù)函數(shù)g（t）在（0，1）上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象進行求解；
解答：解：對函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=，由題意可得M（t，），
切線的斜率k=f′（t）=
過點M的切線方程為y-=（x-t）
則可得P（0，），N（0，1），Q（2-t，1），
s_△PNQ=PN•NQ=（2-t）（1-）=-t+，
令g（t）=-t+（0＜t＜1）
g′（t）=+-1==，
函數(shù)g（t）在（0，）單調(diào)遞增，在[，1）單調(diào)遞減，
由于g（1）=，g（）=，
△PNQ的面積為b時的點M恰好有兩個，
即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個交點，
根據(jù)函數(shù)的圖象可得，＜b＜，

故選D；
點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用：求切線方程；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（t），通過研究該函數(shù)的性質(zhì)，給出相應(yīng)的函數(shù)的圖象，本題是一道中檔題；