Question

如圖，在直三棱柱中，底面△為等腰直角三角形，，為棱上一點，且平面⊥平面.

(Ⅰ)求證：為棱的中點；（Ⅱ）為何值時，二面角的平面角為.

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)＝

試題分析：(Ⅰ)先點D作DE ⊥ A₁ C 于E點，取AC的中點F，連BF ﹑EF，然后通過平面和平面垂直的性質定理及直三棱柱的定義可證EF∥AA₁，又點F是AC的中點，則DB = BB₁，即為的中點；或者先證,再證得. (Ⅱ)先在點D處建立空間直角坐標系，然后求出兩平面DA₁C和ADA₁ 的法向量分別為和，由二面角的平面角為可知，得
據題意有：，從而 ＝.或者利用幾何法可求.
試題解析：（Ⅰ）過點D作DE ⊥ A₁ C 于E點，取AC的中點F，連BF ﹑EF
∵面DA₁ C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁ C，面DA₁ C內的直線DE ⊥ A₁ C
故直線面                     3分
又∵面BA C⊥面AA₁C₁C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA₁C₁C
由此知：DE∥BF ，從而有D，E，F，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF ，從而有EF∥AA₁，又點F是AC的中點，所以DB ＝ EF ＝  AA₁＝  BB₁，即為的中點.             6分
(Ⅱ）解法1：建立如圖所示的直角坐標系，

設AA₁＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，則D（0,0,b）,  A₁ (a,0,2b),  C (0,a,0) 
所以，
設面DA₁C的法向量為
則   可取                    8分
又可取平面AA₁DB的法向量:

據題意有： 解得： ＝               12分
(Ⅱ)解法2：延長A₁ D與直線AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，
過B作BH⊥A₁ G于點H，連CH，由三垂線定理知：A₁ G⊥CH，
由此知∠CHB為二面角A －A₁D － C的平面角；                       9分
設AA₁＝ 2b ，AB＝BC ＝；在直角三角形A₁A G中，易知AB ＝ BG.
在DBG中，BH ＝  ＝ ， CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，據題意有： ＝ tan60⁰ ＝  ，解得：所以 ＝               12分