Question

【題目】若a≥0，試討論函數g（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x在（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

【答案】解： = ．

∵函數g（x）的定義域為（0，+∞），

∴當a=0時， ，

由g'（x）＞0，得0＜x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1．

即函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；

當a＞0時，令g'（x）=0，得x=1或 ．

若 ，即 時，

由g'（x）＞0，得x＞1或 ，由g'（x）＜0，得 ．

即函數g（x）在 ，（1，+∞）上單調遞增，在 單調遞減；

若 ，即 時，

由g'（x）＞0，得 或0＜x＜1，由g'（x）＜0，得 ．

即函數g（x）在（0，1）， 上單調遞增，在 單調遞減；

若 ，即 時，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0．

即函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增．

綜上所述：

當a=0時，函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；

當 時，函數g（x）在（0，1）上單調遞增，

在 單調遞減；在 上單調遞增；

當 時，函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，

當 時，函數g（x）在 上單調遞增，

在 單調遞減；在（1，+∞）上單調遞增．

【解析】求出函數的導函數，求得導函數的零點，然后對a分類分析導函數在各區間段內的符號，得到原函數的單調區間．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．