Question

已知函數，
對定義域內的任意x都有f（2-x）+f（2+x）=0成立．
（1）求實數m的值；
（2）當x∈（b，a）時，f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），求實數a，b的值．

Answer 1

解：（1）由條件得：〔〕
∴（m²-1）x²=0對定義域內的任意x成立〔〕
∴m²-1=0〔〕
∴m=1或m=-1〔〕
當m=1時不成立
∴m=-1〔〕
（2）
由f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），
當0＜a＜1時，x∈（b，a）的值域為（0，a），〔〕
函數在x∈（b，a）上是減函數，所以，這是不可能的．〔〕
當a＞1時，x∈（b，a）的值域為（a，+∞），〔〕
所以，函數在x∈（b，a）上是減函數，并且b=3〔〕
所以，，解得〔〕
綜上：，b=3〔〕
分析：（1）先由條件：“f（2-x）+f（2+x）=0”得：化簡得：（m²-1）x²=0對定義域內的任意x成立，即可求得m 值；
（2）先寫出f（x）的表達式：，由f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），對a進行分類討論：當0＜a＜1時，當a＞1時，分別求得實數a，b的值即可．
點評：本小題主要考查對數函數圖象與性質的綜合應用，考查運算求解能力，（2）問解答關鍵是對a分類討論后應用函數的單調性．