Question

已知兩定點F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，平面上動點P滿足|PF₁|-|PF₂|=2．
（Ⅰ）求動點P的軌跡c的方程；
（Ⅱ）過點M（0，1）的直線l與c交于A、B兩點，且

MA

=λ

MB

，當

1

3

≤λ≤

1

2

時，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由|F1F2|=2

2

＞2，知P的軌跡c是以F₁，F₂為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，由此能求出軌跡c的方程．
（Ⅱ）設l的方程為y=kx+1，A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），則

MA

=(x1，kx1)，

MB

=(x2，kx2)，由

MA

=λ

MB

得：x₁=λx₂；聯立

x2-y2=1 y=kx+1

，消去y，整理得：（1-k²）x²-2kx-2=0，由此得

△=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＞0 x1•x2=- 2 1-k2 ＞0

，從而得到k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵|F1F2|=2

2

＞2
∴P的軌跡c是以F₁，F₂為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，
∴軌跡c方程為x²-y²=1（x≥1）．                                 （3分）
（Ⅱ）由題意可知l的斜率k存在，且k≠0，±1，
設l的方程為y=kx+1，A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），
則

MA

=(x1，kx1)，

MB

=(x2，kx2)，由

MA

=λ

MB

得：x₁=λx₂；         （5分）
聯立

x2-y2=1 y=kx+1

，消去y，整理得：（1-k²）x²-2kx-2=0（*）
由x₁，x₂是方程（*）在區間（0，+∞）內的兩個不等實根得

△=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k 1-k2 ＞0 x1•x2=- 2 1-k2 ＞0

，
化簡得

k2＜2 k＜0 1＜k2

，即-

2

＜k＜-1；           （8分）
又

x1+x2=(1+λ)x2= 2k 1-k2  &(2) x1x2=λx22= 2 k2-1  & ，&(3)

，
（2）²÷（3）整理可得：k2=1+

2λ

λ2+1

=1+

2

λ+ 1 λ

，（10分）
∵

1

3

≤λ≤

1

2

，由對勾函數的性質可知，在區間[

1

3

，

1

2

]上k²=f（λ）為增函數，
∴f(

1

3

)≤k2≤f(

1

2

)，即

8

5

≤k2≤

9

5

，
綜上得-

3 5

5

≤k≤-

2 10

5

．            （13分）

點評：本題考查軌跡方程的求法和直線斜率的取值范圍的確定，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化，注意指數函數性質的靈活運用．