Question

已知兩定點F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，點P是曲線E上任意一點，且滿足條件|

PF2

|-|

PF1

|=2．
①求曲線E的軌跡方程；
②若直線y=kx-1與曲線E交于不同兩點A，B兩點，求k的范圍．

Answer 1

分析：①由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點的雙曲線的左支，由此可求曲線E的方程；
②由題意建立方程組

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0，根據直線與雙曲線左支交于兩點A，B，建立不等式組，即可求得k的范圍．

解答：解：①由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為焦點的雙曲線的左支，且c=

2

，a=1，
∴b=

c2-a2

=1
故曲線E的方程為：x²-y²=1（x＜0）
②設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意建立方程組

y=kx-1 x2-y2=1

消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
已知直線與雙曲線左支交于兩點A，B，有

1-k2≠0 △=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

  解得：-

2

＜k＜-1

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是正確運用雙曲線的定義與韋達定理．