Question

（本小題滿分14分）
如右圖所示，四棱錐中，底面為正方形，
平面，，，，分別為

、、的中點．（1）求證：；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．

Answer 1

（1）證法1：∵平面，平面，
∴．
又為正方形，
∴．
∵，
∴平面．…………………4分
∵平面，
∴．
∵，
∴．…………………6分
證法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，， ，，
，．…………………4分
∵，
∴．…………………6分
（2）解法1：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，
，，
，，
．…………………8分
設平面DFG的法向量為，
∵

令，得是平面的一個法向量．…………10分
設平面EFG的法向量為，
∵
令，得是平面的一個法向量．……………12分
∵．
設二面角的平面角為θ，則．
所以二面角的余弦值為．…………………14分
解法2：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，
，，
，．…………………8分
過作的垂線，垂足為，
∵三點共線，
∴，
∵，
∴，
即，解得．…………………10分
∴.
再過作的垂線，垂足為，
∵三點共線，∴，
∵， ∴，
即，
解得．∴．
∴．…………………12分
∵與所成的角就是二面角的平面角，
所以二面角的余弦值為．…………………14分

略