Question

【題目】已知、是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率的倒數(shù)之和的最大值為___.

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為e1，e2, 由余弦定理可得

4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在橢圓中，①化簡(jiǎn)為即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在雙曲線(xiàn)中，

化簡(jiǎn)為即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求橢圓和雙曲線(xiàn)的離

心率的倒數(shù)之和的最大值.

設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸為a1，（a＞a1），半焦距為c，

由橢圓和雙曲線(xiàn)的定義可知，

設(shè)|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，

橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率分別為e1，e2,

∵∠F1PF2=，則∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①

在橢圓中，①化簡(jiǎn)為即4c2=4a2﹣3r1r2…②，

在雙曲線(xiàn)中，①化簡(jiǎn)為即4c2=4a12+r1r2…③，

，

由柯西不等式得（1+）（）≥（）2

故答案為：