Question

下列命題：
①已知函數y=sin2x+acos2x的圖象關于直線x=-

π

3

對稱，則a的值為

3

3

；
②函數y=lgsin(

π

4

-2x)的單調增區間是[kπ-

π

8

， kπ+

3π

8

)  (k∈Z)；
③設p=sin15°+cos15°，q=sin16°+cos16°，r=p•q，則p、q、r的大小關系是p＜q＜r；
④要得到函數y=cos2x-sin2x的圖象，需將函數y=

2

cos2x的圖象向左平移

π

8

個單位；
⑤函數f(x)=sin(2x+θ)-

3

cos(2x+θ)是偶函數且在[0，

π

4

]上是減函數的θ的一個可能值是

5π

6

．其中正確命題的個數是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據正弦函數圖象對稱性的公式，可得①正確；根據復合函數的單調性，結合正弦函數的單調區間可得②不正確；用輔助角公式進行合并，再比較大小，可得③正確；用輔助角公式進行合并，再結合函數圖象平移的公式，可得④正確；根據y=Asin（ωx+φ）的奇偶性和單調性，可得⑤正確．

解答：解：對于①，若函數y=sin2x+acos2x的圖象關于直線x=-

π

3

對稱，則f（-

π

3

）=±

1+a2

，
即sin（-

2π

3

）+acos（-

2π

3

）=

1+a2

，解之得a=

3

3

，故①正確；
對于②，因為sin(

π

4

-2x)＞0，所以函數的定義域為：{x|kπ-

3π

8

＜x＜kπ+

π

8

}，
函數的增區間是(kπ-

3π

8

， kπ-

π

8

)  (k∈Z)，故②不正確；
對于③，∵p=sin15°+cos15°=

2

sin60°=

6

，q=sin16°+cos16°=

2

sin61°＞

6

，
∴p＜q，而且r=p•q＞p，r=p•q＞p，所以p＜q＜r，故③正確；
對于④，將函數y=

2

cos2x的圖象向左平移

π

8

個單位得到y=

2

cos(2x+

π

4

)的圖象；
而函數y=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

），所以④正確；
對于⑤，當θ=

5π

6

時，函數f(x)=sin(2x+

5π

6

)-

3

cos(2x+

5π

6

)=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，
恰好在在[0，

π

4

]上是減函數且為偶函數，故⑤正確．
所以正確的是①③④⑤，共4個
故選D

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換、正弦函數的奇偶性、奇偶性和圖象的對稱性等知識，屬于中檔題．