Question

已知函數f（x）的定義域為{x| x ≠ kπ，k ∈ Z}，且對于定義域內的任何x、y，有f（x?? - y） = 成立，且f（a） = 1（a為正常數），當0 < x < 2a時，f（x） > 0．（I）判斷f（x）奇偶性；（II）證明f（x）為周期函數；（III）求f （x）在[2a，3a] 上的最小值和最大值．

Answer 1

（1）f（x）為奇函數（2）見解析（3）f（x）在[2a，3a]上的最大值為f（2a = 0，最小值為f（3a）= - 1

解析:

（1）∵定義域{x| x ≠ kπ，k∈Z }關于原點對稱，

又f（- x） = f [（a - x） - a]= =  =  =  =  = - f （x），對于定義域內的每個x值都成立

∴ f（x）為奇函數------------------------------------------------------------------------------------（4分）

（2）易證：f（x + 4a） = f（x），周期為4a．------------------------------------------（8分）

（3）f（2a）= f（a + a）= f [a -（- a）]=  =  = 0，

f（3a）= f（2a + a）= f [2a -（- a）]= =  = - 1．

先證明f（x）在[2a，3a]上單調遞減為此，必須證明x∈（2a，3a）時，f（x） < 0，

設2a < x < 3a，則0 < x - 2a < a，

∴ f（x - 2a）=  = -  > 0，∴ f（x）< 0---------------------（10分）

設2a < x₁ < x₂ < 3a，

則0 < x₂ - x₁ < a，∴ f（x₁）< 0   f（x₂）< 0  f（x₂ - x₁）> 0，

∴ f（x₁）- f（x₂）=  > 0，∴ f（x₁）> f（x₂），

∴ f（x）在[2a，3a]上單調遞減--------------------------------------------------（12分）

∴ f（x）在[2a，3a]上的最大值為f（2a = 0，最小值為f（3a）= - 1