Question

已知函數f（x）=x-ln（1+x），數列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n）；數列{b_n}滿足b₁=，b_n+1≥（n+1）b_n，n∈N^*．求證：
（Ⅰ）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（Ⅱ）a_n+1＜
（Ⅲ）若a₁=，則當n≥2時，b_n＞a_n•n!．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）用數學歸納法證明0＜a_n＜1，n∈N^*．（1）當n=1時，由已知得結論成立；（2）假設當n=k時，結論成立，即0＜a_k＜1．則當n=k+1時，因為0＜x＜1時，f′（x）=1-=＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函數．可和f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1＜1-ln2＜1．再由a_n+1-a_n=an-ln（1+a_n）-an=-ln（1+a_n）＜0，有a_n+1＜a_n．進而得到結論．
（Ⅱ）根據問題和a_n+1=f（a_n），可構造函數g（x）=-f（x）=，0＜x＜1，即證g（x）＞0成立，用導數法研究因為g′（x）=＞0，知g（x）在（0，1）上增函數．得到結論．
（Ⅲ）由b₁=，b_n+1≥（n+1）b_n，可再由b_n＞0，變形為，從而由累乘法可得b_n=①，再由a_n+1＜推知：，再用累乘法可得=＜＜=②．由①②兩式可得結論．
解答：解：（Ⅰ）先用數學歸納法證明0＜a_n＜1，n∈N^*．
（1）當n=1時，由已知得結論成立；
（2）假設當n=k時，結論成立，即0＜a_k＜1．則當n=k+1時，
∵0＜x＜1時，f′（x）=1-=＞0，
∴f（x）在（0，1）上是增函數．
又∵f（x）在[0，1]上連續，
∴f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1＜1-ln2＜1．
故當n=k+1時，結論也成立．即0＜a_n＜1對于一切正整數都成立．（4分）
又由0＜a_n＜1，得a_n+1-a_n=an-ln（1+a_n）-an=-ln（1+a_n）＜0，從而a_n+1＜a_n．
綜上可知0＜a_n+1＜a_n＜1（6分）
（Ⅱ）構造函數g（x）=-f（x）=，0＜x＜1，
由g′（x）=＞0，知g（x）在（0，1）上增函數．
又g（x）在[0，1]上連續，
∴g（x）＞g（0）=0．
∵0＜a_n＜1，
∴g（a_n）＞0，即-f（an）＞0，
從而a_n+1＜（10分）
（Ⅲ）∵b₁=，b_n+1≥（n+1）b_n，
∴b_n＞0，，
∴b_n=①，（12分）
由（Ⅱ）a_n+1＜知：，
∴=，
∵a₁=，n≥2，0＜a_n+1＜a_n＜1
∴a_n＜＜＜=②．（14分）
由①②兩式可知：b_n＞a_n•n!．（16分）
點評：本題主要考查數列與函數，不等式的綜合運用，主要涉及了數學歸納法，導數法，放縮法及累乘法等常用解題方法，綜合性強，難度大，要求思路要清，意志力要強．