Question

如圖，F為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點，P為雙曲線C右支上一點，且位于x軸上方，M為左準線上一點，O為坐標原點，已知四邊形OFPM為平行四形，|

PF

|=λ|

OF

|．寫出雙曲線C的離心率e與λ的關系式．

Answer 1

分析：作雙曲線的右準線交PM于H，由平行四邊形OFPM的性質和雙曲線中的基本概念，算出|PH|=|OF|-|MH|=c-

2a2

c

，再根據圓錐曲線的統一定義列式，結合題意化簡整理，即可得到離心率e與λ的關系式．

解答：解：∵四邊形OFPM是平行四邊形，∴|OF|=|PM|=c，
作雙曲線的右準線，交PM于H，
則|PM|=|PH|+|MH|=|OF|，可得|PH|=|OF|-|MH|=c-

2a2

c

，
由圓錐曲線的統一定義，得

|PF|

|PH|

=e，
結合|

PF

|=λ|

OF

|，得

λ|OF|

c- 2a2 c

=e即

λc

c- 2a2 c

=e，
∴

λ

1- 2a2 c2

=

λ

1- 2 e2

=e，
去分母化簡得e²-λe-2=0，即為所求離心率e與λ的關系式．

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求關于離心率e的關系式．著重考查了雙曲線的定義與標準方程、圓錐曲線的統一定義等知識，屬于中檔題．