Question

如圖，F(xiàn)為雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)．P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于x軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．已知四邊形OFPM為平行四邊形，|PF|=λ|OF|．
（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率e與λ的關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若|AB|=12，求此時(shí)的雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)四邊形OFPM是平行四邊形，可知|OF|=|PM|=c，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，根據(jù)雙曲線定義可表示出|PM|，進(jìn)而根據(jù)雙曲線第二定義表示出離心率e，化簡整理即可得到e和λ的關(guān)系式．
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，e=2，c=2a，b²=3a²，雙曲線為

x2

a2

-

y2

3a2

=1，根據(jù)四邊形OFPM是菱形，求的直線OP的斜率，進(jìn)而可知直線AB的方程代入到雙曲線方程，進(jìn)而表示出|AB|求得a，則b可得，進(jìn)而可求得雙曲線方程．

解答：解：（Ⅰ）∵四邊形OFPM是平行四邊形，
∴|OF|=|PM|=c，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則|PM|=|PH|+2×

a2

c

，
又e=

|PF|

|PH|

=

λ|OF|

c-2 a2 c

=

λc

c-2 a2 c

=

λc2

c2-2a2

=

λe2

e2-2

，e²-λe-2=0．

（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，e=2，|PF|=|OF|．
∴c=2a，b²=3a²，雙曲線為

x2

a2

-

y2

3a2

=1且平行四邊形OFPM是菱形，
由圖象，作PD⊥X軸于D，則直線OP的斜率為

PD

OD

=

C2- a4 C2

c- a2 c

=

15

3

，則直線AB的方程為y=

15

3

（x-2a），代入到雙曲線方程得：
4x²+20ax-29a²=0，又|AB|=12，
由|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

，
得：12=

8 3

(5a)2+4× 29a2 4

，
解得a=1，
則b²=3，
所以x²-

y2

3

=1為所求．

點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生對雙曲線性質(zhì)的綜合掌握．