Question

（2013•保定一模）設a＞1，b＞1，且ab+a-b-10=0，a+b的最小值為m．記滿足x²+y²≤m的所有整點的坐標為（x_i，y_i）（i=1，2，3，…，n），則

n

i=1

|xiyi|=

20

．

Answer 1

分析：對已知進行整理可得，（a-1）（b+1）=9然后利用基本不等式可求a+b的最小值，從而可求m，代入求出符合條件的m即可求解

解答：解：由ab+a-b-10=0可得b（a-1）+（a-1）=9
即（a-1）（b+1）=9
由基本不等式可得，（b+1）（a-1）≤(

b+1+a-1

2

)2=(

a+b

4

)2
∴（a+b）²≥36
當且僅當a=4，b=2時取等號）
故a+b的最小值是6即m=6
從而滿足x²+y²≤6的整點有21個，（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2）（1，0），（1，1），（1，2），（1，-1，），（1，-2）（2，0），（2，1），（2，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-1，-1），（-1，-2），（-2，0）（-2，1），（-2，-1）
則

n

i-1

.

xiyi

.

=1+2+1+2+2+2+1+2+1+2+2+2=20
故答案為：20

點評：本題主要考查了基本不等式在求解最值中的應用及整數點的求解，解題的關鍵是求解出m的值