Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1．P，Q分別是棱DD₁，CD的中點．
（1）證明：AC₁⊥平面A₁BD；PQ∥平面A₁BD；
（2）探究：在棱B₁C₁上是否存在點M，使得二面角M-BD-A₁的大小為45°？若存在，則求出B₁M的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明：連接AC，根據三垂線定理可得：AC₁⊥BD并且AC₁⊥A₁B，再根據線面垂直的判定定理可得線面垂直．
由P，Q分別是棱DD₁，CD的中點，可得PQ∥A₁B，再根據線面平行的判定定理可得線面平行．
（2）建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量，再利用向量的有關運算得到兩個平面的二面角，進而得到一個等式，即可求出答案．

解答：解：（1）證明：連接AC，所以AC是AC₁在底面內的射影，
因為在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所以AC⊥BD，
所以根據三垂線定理可得：AC₁⊥BD，同理可得：AC₁⊥A₁B，
因為BD∩A₁B=B，
所以AC₁⊥平面A₁BD．
因為P，Q分別是棱DD₁，CD的中點，
所以PQ∥CD₁，
所以PQ∥A₁B，
又因為A₁B?平面A₁BD，
所以PQ∥平面A₁BD．
（2）建立空間直角坐標系，如圖所示：則A₁（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），設M（1，y，1），

所以

A1B

=(1，0，-1)，

BD

=(-1，1，0)，

BM

=(0，y，1)，
設平面A₁BD與平面BDM的法向量分別為：

n

=(x1，y1，z1)，

m

=(x2，y2，z2)，
所以

n •  A1B =0 n • BD =0

，即

x1-z1=0 y1-z1=0

，取

n

=(1，1，1 )．
同理可得：

m

=(1，1，-y)．
因為二面角M-BD-A₁的大小為45°，
所以cos＜

n

，

m

＞=

2-y

3 2+y2

=

2

2

，解得：y=3

2

-4，
所以|B₁M|=3

2

-4．
所以在棱B₁C₁上存在點M，使得二面角M-BD-A₁的大小為45°，并且B₁M的值為3

2

-4．

點評：本題主要考查線面平行于線面垂直的判定定理，以及利用空間向量解決二面角的平面角的問題．