Question

設f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定義域；
（2）求f（x）在區間[0，

3

2

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=2即可求出a值，令

1+x＞0 3-x＞0

可求出f（x）的定義域；
（2）研究f（x）在區間[0，

3

2

]上的單調性，由單調性可求出其最大值．

解答：解：（1）∵f（1）=2，∴log_a（1+1）+log_a（3-1）=log_a4=2，解得a=2（a＞0，a≠1），
由

1+x＞0 3-x＞0

，得x∈（-1，3）．
∴函數f（x）的定義域為（-1，3）．
（2）f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x）=log₂（1+x）（3-x）=log2[-(x-1)2+4]
∴當x∈[0，1]時，f（x）是增函數；
當x∈[1，

3

2

]時，f（x）是減函數．
所以函數f（x）在[0，

3

2

]上的最大值是f（1）=log₂4=2．

點評：對于函數定義域的求解及復合函數單調性的判定問題屬基礎題目，熟練掌握有關的基本方法是解決該類題目的基礎．