Question

設f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a），其中a＞0且a≠1．
（1）已知f（4a）=1，求a的值；
（2）若在區間[a+3，a+4]上f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將x=4a代入f（x）中，列出等式，利用對數的運算性質化簡求值，即可求出a的值；
（2）利用對數的運算性質化簡函數f（x）=loga[(x-

5a

2

)2-

a2

4

]，求出函數的定義域，判斷出內函數g（x）=(x-

5a

2

)2-

a2

4

在[a+3，a+4]上單調遞增，將函數在區間[a+3，a+4]上f（x）≤1恒成立，轉化為f（x）_max≤1，再對底數a進行分類討論，分別求出f（x）_max，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a），
∴f（4a）=log_a2a+log_aa=1，
∴log_a2a=0，即2a=1，
∴a=

1

2

．
（2）f（x）=log_a（x-2a）+log_a（x-3a）=log_a（x²-5ax+6a²）=loga[(x-

5a

2

)2-

a2

4

]，
根據題意可知，

x-2a＞0 x-3a＞0

，解得，x＞3a，
∴a+3＞3a，即a＜

3

2

，
∴（a+3）-

5a

2

=

3

2

(a-2)＞0，
∴g（x）=(x-

5a

2

)2-

a2

4

在區間[a+3，a+4]上單調遞增．
①若0＜a＜1，則f（x）在區間[a+3，a+4]上單調遞減，
∴f（x）在區間[a+3，a+4]上的最大值為f（a+3）=log_a（2a²-9a+9），
∵不等式f（x）≤1在x∈[a+3，a+4]恒成立，等價于f（x）_max≤1，即log_a（2a²-9a+9）≤1，
∴2a²-9a+9≥a，解得a≥

5+ 7

2

或a≤

5- 7

2

，
又∵0＜a＜1，
∴0＜a＜1．
②若1＜a＜

3

2

，則f（x）在區間[a+3，a+4]上單調遞增，
∴f（x）在區間[a+3，a+4]上的最大值為f（a+4）=log_a（2a²-12a+16），
∵不等式f（x）≤1在x∈[a+3，a+4]恒成立，等價于f（x）_max≤1，即log_a（2a²-12a+16）≤1，
∴2a²-12a+16≤a，即2a²-13a+16≤0，解得

13- 41

4

≤a≤

13- 41

4

，
∵1＜a＜

3

2

且

13- 41

4

＞

3

2

，
∴a∈∅．
綜合①②，a的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查了對數的運算，以及復合函數的單調性和函數的恒成立問題．對于函數恒成立問題，如果能參變量分離的一般選用參變量分離的方法轉化為函數的最值進行求解，否則直接運用函數的最值求解．對于對數的底數是參數的話，一般要對其進行分類討論進行求解，運用分類討論的數學思想方法．屬于中檔題．