Question

 

已知向量，動點M到定直線的距離等于，并且滿足，其中為坐標原點，為非負實數．

（I）求動點M的軌跡方程；   

（II）若將曲線向左平移一個單位，得曲線，試判斷曲線為何種類型；

（III）若（II）中曲線為圓錐曲線，其離心率滿足，當是曲線的兩個焦點時，則曲線上恒存在點P，使得成立，求實數的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）設，則由，且為原點 ，

得，，，從而，，，  代入

得，為所求的軌跡方程．               ——4分

（Ⅱ）曲線向左平移1個單位，得到曲線的方程為

（1）當時，得，則曲線是一條直線.                  

（2）當時，得.

①若時，則所求曲線是圓；

②若時，則所求曲線是雙曲線；

③若時，則所求曲線是橢圓.                           ——8分

（Ⅲ）由，所以曲線為橢圓 ，

又∵，  ∴曲線為焦點在軸上的橢圓.

∵恒成立     ∴以為直徑的圓恒與橢圓有交點，

∴，又∵，

∴ ，  綜上所述，實數的取值范圍是．            ——12分