Question

已知向量，動(dòng)點(diǎn)M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，k是參數(shù)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并判斷曲線類(lèi)型；
（2）當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值；
（3）如果動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓錐曲線，其離心率e滿足，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出M的坐標(biāo)并求出A（2，0），B（2，1），C（0，1），把各點(diǎn)的坐標(biāo)以及動(dòng)點(diǎn)M到定直線y=1的距離等于d代入，整理即可求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（1-k）（x²-2x）+y²=0，再分情況得出曲線類(lèi)型；
（2）先利用（1）的結(jié)論得出：0≤x≤2，y²=，再把整理為，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求即可求出的最大值和最小值；
（3）先由離心率e滿足，得圓錐曲線是橢圓，且方程可化為．再利用離心率e和系數(shù)的關(guān)系分情況分別求出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)k的取值范圍即可．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），由題設(shè)可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）
∴，，
因
∴（x，y）•（x-2，y）=
k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|²]
即（1-k）（x²-2x）+y²=0為所求軌跡方程．
當(dāng)k=1時(shí)，y=0，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條直線；
當(dāng)k=0時(shí)，x²-2x+y²=0，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是圓；
當(dāng)k≠1時(shí)，方程可化為，當(dāng)k＞1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線；
當(dāng)0＜k＜1或k＜0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓．
（2）當(dāng)時(shí)，M的軌跡方程為，．得：0≤x≤2，y²=．
∵
=
=．
∴當(dāng)時(shí)，取最小值
當(dāng)x=0時(shí)，取最大值16．
因此，的最小值是，最大值是4．
（3）由于，即e＜1，此時(shí)圓錐曲線是橢圓，其方程可化為，
①當(dāng)0＜k＜1時(shí)，a²=1，b²=1-k，c²=1-（1-k）=k，，∵，∴；
②當(dāng)k＜0時(shí)，a²=1-k，b²=1，c²=（1-k）-1=-k，，∵，∴，而k＜0得，．
綜上，k的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了軌跡方程的求法以及向量與圓錐曲線的綜合問(wèn)題和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于難題．