Question

. 19(本小題滿分14分)

       已知橢圓 (a>b>0)與直線

       x+y－1 = 0相交于A、B兩點，且OA⊥OB

       (O為坐標原點)．

(I)   求 + 的值；

(II)  若橢圓長軸長的取值范圍是［,］，

       求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)  2 (Ⅱ) ［ ，］

解析:

(I) 將x+y－1=0代入橢圓方程整理得：(a²+b²)x²－2a²x+a²(1－b²)=0．（*）     

設A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)，則x₁+x₂=，x₁x₂=, 

而y₁y₂=(1－x₁)(1－x₂) = ． 

又∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．∴+=0．

∴a²+b² = 2a²b²∴ + =2        ①  

經驗證，此時方程(*)有解，∴+ =2．  8分

(2)將b² = a²－c²，e = 代入①得：2－e² = 2a²(1－e²)．  

∴e² = =1－，而2a∈[，]，    

∴≤ e ² ≤ ．而0 < e < 1，∴≤ e ≤ ．     

故e的取值范圍為［ ，］．     14分