Question

(1)求右焦點坐標是(2,0),且經過點(－2,－)的橢圓C的標準  方程；
(2)對(1)中的橢圓C,設斜率為1的直線l交橢圓C于A、B兩點,AB的中點為M,證明:當直線l平行移動時,動點M在一條過原點的定直線上；
(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質,用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標出橢圓的中心.

Answer 1

(1) 橢圓的標準方程為+=1.

(1)由題中條件,設橢圓的標準方程為+=1,a＞b＞0,
∵右焦點為(2,0),∴a²=b²+4,
即橢圓的方程為+=1.
∵點(－2,－)在橢圓上,∴+=1.
解得b²=4或b²=－2(舍),
由此得a²=8,即橢圓的標準方程為+=1.
(2)設直線l的方程為y=x+m,與橢圓C的交點為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),
則由得12x²+16mx+8m²－32=0,
即3x²+4mx+2m²－8=0.
∵Δ＞0,∴m²＜12,即－2＜m＜2.
則x₁+x₂=－,y₁+y₂=x₁+m+x₂+m=m,
∴AB中點M的坐標為(－m,).
∴線段AB的中點M在過原點的直線x+2y=0上.
(3)如下圖,作兩條平行直線分別交橢圓于點A、B和點C、D,并分別取AB、CD的中點M、N,連結直線MN；又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于點A₁、B₁和點C₁、D₁,并分別取A₁B₁、C₁D₁的中點M₁、N₁,連結直線M₁N₁,那么直線MN和M₁N₁的交點O即為橢圓中心 .