Question

函數(shù).
（1）令，求的解析式；
（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）證明：.

Answer 1

（1）；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍;（3）詳見解析.

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240421085371212.png" style="vertical-align:middle;" />,故, ,,,由此可得,是以4為周期,重復(fù)出現(xiàn),故;（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍,由得,,即在上恒成立，令,只需求出在上的最小值即可,可利用導(dǎo)數(shù)法來求最小值;（3）證明：,由（2）知：時(shí)，,即,這樣得到，令，疊加即可證出．
試題解析：(1)…周期為4，
.
（2）方法一：即在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，設(shè)，
，
設(shè)，
，則時(shí)，增；減.
而，所以在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，則
,所以在處取得最大值，在處取得最小值，.
綜上：.
方法二：設(shè)，.
.
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，成立，故；
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，得，無解.
當(dāng)時(shí)，則存在使得時(shí)增，時(shí)減，
故，，解得，故.
綜上：.
（3）由（2）知：時(shí)，
即.
當(dāng)時(shí)，，
，

=，
.