Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=

3-2x

x+1

的對稱中心為（-1，-2）；
②函數(shù)y=2^1-x在定義域內(nèi)遞增；  
③函數(shù)y=log3(x+

1

x

-3)的值域為R；      
④函數(shù)f（x）滿足f（x）f（x+2）=1，則f（2013）=f（1）；
⑤若x²-2mx+m²-1=0兩根都大于-2，則m＞-1．
則上述命題正確的是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性及函數(shù)圖象平移變換法則，可判斷①的真假；
根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性判定法則及指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，可判斷②的真假；
判斷真數(shù)部分的取值范圍是否包含區(qū)間（0，+∞），可判斷③的真假；
由已知分析出函數(shù)的周期性，可判斷④的真假；
解方程求出方程的兩個根，結(jié)合x²-2mx+m²-1=0兩根都大于-2，求出m的范圍，可判斷⑤的真假

解答：解：函數(shù)y=

3-2x

x+1

=

5

x+1

-2，其圖象是由函數(shù)y=

5

x

的圖象向左移動一個單位，再向下移動兩個單位得到，故對稱中心為（-1，-2），即①正確；
函數(shù)y=2^u在定義域內(nèi)遞增，但u=1-x在定義域內(nèi)遞減，根據(jù)復合函數(shù)同增異減的原則，可得函數(shù)y=2^1-x在定義域內(nèi)遞減，故②錯誤；
∵x+

1

x

-3∈（-∞，-5]∪[-1，+∞）?（0，+∞），故函數(shù)y=log3(x+

1

x

-3)的值域為R，即③正確；
函數(shù)f（x）滿足f（x）f（x+2）=1，則函數(shù)的周期T=4，則f（2013）=f（1），故④正確；
若x²-2mx+m²-1=0兩根都為m+1，m-1，若它們均大于-2，僅須m-1＞-2，則m＞-1，故⑤正確；
故答案為：①③④⑤

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的對稱性，平移變換法則，復合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)的值域，函數(shù)的周期性及方程的根，是函數(shù)的綜合應用．