Question

已知點F為雙曲線

x2

16

-

y2

9

=1右焦點，M是雙曲線右支上的一動點，A（5，4），則4MF-5MA的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由雙曲線的定義可得 4MF-5MA=4•

5

4

MN-5 MA=5（MN-MA），故當M，A，N 三點共線時，5（MN-MA）最大，
最大值為 5AN=5（5-

16

5

 ）．

解答：解：點F（5，0），離心率e=

5

4

，設M到右準線的距離等于MN，則由雙曲線的定義可得
 4MF-5MA=4•

5

4

MN-5 MA=5（MN-MA），故當M，A，N 三點共線時，5（MN-MA）最大，
最大值為 5AN=5（5-

16

5

 ）=9，
故答案為：9．

點評：本題考查雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，判斷當M，A，N 三點共線時，5（MN-MA）最大，是解題的關鍵．