Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，且過點.

求橢圓的方程；

已知是橢圓的內接三角形，

①若點為橢圓的上頂點，原點為的垂心，求線段的長；

②若原點為的重心，求原點到直線距離的最小值.

Answer 1

【答案】；①；②.

【解析】

根據題意列出方程組求解即可；

①由原點為的垂心可得，軸，設，則，，根據求出線段的長；

②設中點為，直線與橢圓交于，兩點，為的重心，則，設：，，，則，當斜率不存在時，則到直線的距離為1，，由，則，，，得出，根據求解即可.

解：設焦距為，由題意知：，

因此，橢圓的方程為：；

①由題意知：，故軸，設，則，，

，解得：或，

，不重合，故，，故；

②設中點為，直線與橢圓交于，兩點，

為的重心，則，

當斜率不存在時，則到直線的距離為1；

設：，，，則

，

，則

，

則：，，代入式子得：

，

設到直線的距離為，則

時，；

綜上，原點到直線距離的最小值為.