Question

【題目】已知橢圓：的左頂點為，右焦點為，斜率為1的直線與橢圓交于，兩點，且，其中為坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過點且與直線平行的直線與橢圓交于，兩點，若點滿足，且與橢圓的另一個交點為，求的值.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)由題意知是以為斜邊的等腰直角三角形，從而求得B點坐標，代入橢圓方程求出 ，即可得解；(2)設點，，，直線的方程與橢圓方程聯立求出，，，利用計算出點Q的坐標, 因為點在橢圓上，所以，整理得，因為， ，，方程解得，即.

解：（1）因為直線的斜率為1，且，

所以是以為斜邊的等腰直角三角形，

從而有，

代人橢圓的方程，得，解得，

所以橢圓的標準方程為.

（2）由（1）得，所以直線的方程為.

設點，，，

將代入，得，

所以，，

所以.

因為，所以，所以.

設，則，，

所以

因為點在橢圓上，所以，

所以，

整理得，.

由上得，且可知，，

所以，整理得，

解得或（舍去），即.