Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

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2

x2+bx+c，且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）若當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍；
（3）c為何值時(shí)，曲線y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=x³-

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x2+bx+c，且f（x）在x=1處取得極值，我們求出f′（x）的解析式，根據(jù)f′（1）=0，我們易可構(gòu)造一個(gè)關(guān)于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法，我們可以判斷出當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出f（x）在區(qū)間[1，2]的最大值，根據(jù)當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）＜c²恒成立，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范圍；
（3）若曲線y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，則y=f（x）的極大值小于0，或y=f（x）的極小值大于0，進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-

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x2+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1處取極值，
∴f′（1）=0             …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2          …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-x-2
令f′（x）=0，則x=-

2

3

，或x=1           …..（4分）
∵x∈（-∞，-

2

3

）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-

2

3

，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴在閉區(qū)間[-1，2]上，f（x）單調(diào)遞增    …（5分）
∴在閉區(qū)間[-1，2]上，f（x）的最大值為f（2）=2+c＜c²，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1                       …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的極大值為f（-

2

3

）=

22

27

+c，
f（x）的極小值為f（1）=c-

3

2

     …（8分）
∵當(dāng)f（-

2

3

）＜0，或f（1）＞0時(shí)，曲線y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)   …．（9分）
∴

22

27

+c＜0，或c-

3

2

＞0，
即c＜-

22

27

，或c＞

3

2

時(shí)，
曲線y=f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中根據(jù)函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．