Question

在平面直角坐標系xOy中，將從點M出發沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”．如圖所示的路徑MM₁M₂M₃N與路徑MN₁N都是M到N的“L路徑”．某地有三個新建居民區，分別位于平面xOy內三點A（3，20），B（-10，0），C（14，0）處．現計劃在x軸上方區域（包含x軸）內的某一點P處修建一個文化中心．
（I）寫出點P到居民區A的“L路徑”長度最小值的表達式（不要求證明）；
（II）若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內部是保護區，“L路徑”不能進入保護區，請確定點P的位置，使其到三個居民區的“L路徑”長度之和最小．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據“L路徑”的定義，可得點P到居民區A的“L路徑”長度最小值；
（II）由題意知，點P到三個居民區的“L路徑”長度之和的最小值為點P到三個居民區的“L路徑”長度最小值之和（記為d）的最小值，分類討論，利用絕對值的幾何意義，即可求得點P的坐標．
解答：解：設點P的坐標為（x，y），則
（I）點P到居民區A的“L路徑”長度最小值為|x-3|+|y-20|，y∈[0，+∞）；
（II）由題意知，點P到三個居民區的“L路徑”長度之和的最小值為點P到三個居民區的“L路徑”長度最小值之和（記為d）的最小值
①當y≥1時，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|
∵d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|≥24
∴當且僅當x=3時，d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|的最小值為24
∵d₂（y）=2|y|+|y-20|≥21
∴當且僅當y=1時，d₂（y）=2|y|+|y-20|的最小值為21
∴點P的坐標為（3，1）時，點P到三個居民區的“L路徑”長度之和的最小，且最小值為45；
②當0≤y≤1時，由于“L路徑”不能進入保護區，∴d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|
此時d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|，d₂（y）=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21
由①知d₁（x）=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥24，∴d₁（x）+d₂（y）≥45，當且僅當x=3，y=1時等號成立
綜上所述，在點P（3，1）處修建文化中心，可使該文化中心到三個居民區的“L路徑”長度之和最小．
點評：本題考查新定義，考查分類討論的數學思想，考查學生建模的能力，同時考查學生的理解能力，屬于難題．