Question

數列{a_n}是公比大于1的等比數列，a₂=6，S₃=26．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個數，使這n+2個數組成公差為d_n的等差數列．設第n個等差數列的前n項和是A_n．求關于n的多項式g（n），使得A_n=g（n）d_n對任意n∈N₊恒成立；
（3）對于（2）中的數列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個數列中是否存在不同的三項d_m，d_k，d_p（其中正整數m，k，p成等差數列）成等比數列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設公比為q，由，a₂=6，S₃=26 求得q=3，從而求得 a₁=2，由此求出等比數列的通項公式．
（2）由等差數列的通項公式求得 d_n=

4×3 n-1

n+1

，利用等差數列的前n項和公式求得可得 A_n=

4• n2•3 n-1

n+1

，再由 A_n=g（n）d_n對任意n∈N₊恒成立，求得 g（n）．再由 dk2=d_m•d_p，求得 m=k=p，這與d_m，d_k，d_p是不同的三項相矛盾，由此得出結論．

解答：解：（1）設公比為q，由，a₂=6，S₃=26 可得

6

q

+6+6q=20，解得q=3，或 q=

1

3

，再由q＞1可得q=3，∴a₁=2，a_n=2×3^n-1．
（2）由等差數列的通項公式可得 2×3ⁿ=2×3^n-1+（n+1）•d_n，∴d_n=

4×3 n-1

n+1

，
∴A_n=n 2×3^n-1+

n(n-1)

2

•

4×3 n-1

n+1

=

4• n2•3 n-1

n+1

．
∵A_n=g（n）d_n對任意n∈N₊恒成立，∴g（n）=n²．
（3）對于（2）中的數列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，這個數列中若存在不同的三項d_m，d_k，d_p（其中正整數m，k，p成等差數列）成等比數列，
則有 dk2=d_m•d_p，即 (

4×3 k-1

n+1

)2=

4×3 m-1

m+1

•

4×3 p-1

p+1

，再由 2k=mp，解得 m=k=p，
這與d_m，d_k，d_p是不同的三項相矛盾，故不存在不同的三項d_m，d_k，d_p（其中正整數m，k，p成等差數列）成等比數列．

點評：本題主要考查等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式的應用，屬于中檔題．